通过前一节的学习，了解了树的一些基本知识。二叉树是在树的基础上对本身的结构做了更高的限制：

1. 二叉树本身是有序树。
2. 二叉树中各结点的度最多是 2，可以是 0，1，2。

 

图1 二叉树

 

满二叉树和完全二叉树

如果二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为 2，那么此二叉树为满二叉树。例如图 1 就是一个满二叉树。

如果二叉树除了最后一层外为满二叉树，最后一层的结点依次从左到右分布，此二叉树为完全二叉树。

  （A）                                                                  （B）

图2 完全二叉树

 

图 2（A）和（B）都是二叉树，但图 2（A）是完全二叉树，（B）由于最后一层不符合从左往右依次分布的要求，所以不是完全二叉树，只是一个普通的二叉树。

二叉树的性质

二叉树有以下几个性质：

1. 二叉树中，第 i 层最多有2i-1个结点。
2. 如果二叉树的深度为 K，那么此二叉树最多有2K-1个结点。
3. 二叉树中，终端结点数（叶子结点数）为 n₀，度为 2 的结点数为 n₂，则n0 = n2 + 1。

性质 3 的计算方法为：

对于一个二叉树来说，除了度为 0 的叶子结点和度为 2 的结点，剩下的就是度为 1 的结点（设为 n₁），那么总结点n = n0 + n1 + n2。

同时，对于每一个结点来说都是由其父结点分支表示的，假设树中分枝数为 B，那么总结点数n = B + 1。而分枝数是可以通过 n₁ 和 n₂ 表示的:B = n1 + 2 * n2。

所以，n 用另外一种方式表示为:n=n1+2*n2+1。

两种方式得到的 n 值组成一个方程组，就可以得出n0 = n2 + 1。

完全二叉树特有的性质

n 个结点的完全二叉树的深度为

[log2n]+1。

[log₂n]表示取小于log₂n的最大整数。例如，[log₂4] = 2,而 [log₂5] 结果也是 2。

对于任意一个完全二叉树来说，将含有的结点按照层次从左到右依次标号（如图 2（A）），对于任意一个结点 i ，有以下几个结论：

• 当 i > 1时，父亲结点为结点 [i / 2] 。（ i = 1时，表示的是根结点，无父亲结点）
• 如果 2*i > n ，则结点 i 肯定没有左孩子（为叶子结点）；否则其左孩子是结点 2*i 。
• 如果 2*i +1 > n ，则结点 i 肯定没有右孩子；否则右孩子是结点 2*i +1 。

二叉树和完全二叉树的各自所特有的性质，需要熟记，在对其进行存储以及利用二叉树解决问题时，会经常用到。

二叉树的存储结构

二叉树有两种存储结构：顺序存储结构和链式存储结构。

顺序存储

借用数组将二叉树中的数据元素存储起来。此方式只适用于完全二叉树，如果想存储普通二叉树，需要将普通二叉树转化为完全二叉树。

使用数组存储完全二叉树时，从数组的起始地址开始，按层次顺序从左往右依次存储完全二叉树中的结点。当提取时，根据完全二叉树的第 2 条性质，可以将二叉树进行还原。

例如，存储图 2（A）时，数组中存储为：

根据完全二叉树的第 2 条性质就可以根据数组中的数据重新搭建二叉树的结构。

如果普通二叉树也采取顺序存储的方式，就需要将其转化成完全二叉树，然后再存储，例如：

 转化前                              转化后

图 3 普通二叉树转完全二叉树

图 3 中，转化后的二叉树中，数据元素 0 表示此位置没有数据。将转化后的完全二叉树按照层次并从左到右的次序存储到数组中：

由此可见。深度为 K 且只有 K 个结点的单支树（树中不存在度为 2 的结点），需要 

2K-1 的数组空间，浪费存储空间。所以，顺序存储方式更适用于完全二叉树。

链式存储

采用链式存储结构存储二叉树，就非常容易理解了。根据每个结点的结构，至少需要 3 部分组成：

图5 二叉链表结点构成

图 5 中，

Lchild 代表指向左孩子的指针域；

data 为数据域；

Rchild 代表指向右孩子的指针域。使用此种结点构建的二叉树称为“二叉链表”。

结点结构代码表示：

typedef struct BiTNode {　　TElemType data;　　//数据域　　struct BiTNode *lchild, *rchild;　　//左右孩子指针}BiTNode, *BiTree;

 

如果程序中需要频繁地访问结点的父结点，就可以使用下面这种结点结构：

图 6 三叉链表结点构成

图 6 中，

Lchild 指向左孩子；

Rchild 指向右孩子；

data 为数据域；

parent 指向父结点。使用这种结构的结点创建的树称为“三叉链表”。

结点结构代码表示：

typedef struct BiTNode {　　TElemType data;　　//数据域　　struct BiTNode *lchild, *rchild;　　//左右孩子指针　　struct BiTNode *parent;}BiTNode, *BiTree;

 

例如，分别用两种结点创建图 3 中的单支树：

 

图7 单支树示意图

实现代码（以二叉链表为例）

#include 
        
         #include 
         
          #define TElemType int typedef struct BiTNode {　　TElemType data;　　//数据域　　struct BiTNode *lchild, *rchild;　　//左右孩子指针}BiTNode, *BiTree; void CreateBiTree(BiTree *T) {　　*T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));　　(*T)->data = 1;　　(*T)->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));　　(*T)->rchild = NULL;　　(*T)->lchild->data = 2;　　(*T)->lchild->lchild = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));　　(*T)->lchild->rchild = NULL;　　(*T)->lchild->lchild->data = 3;　　(*T)->lchild->lchild->lchild = NULL;　　(*T)->lchild->lchild->rchild = NULL;} int main() {　　BiTree Tree;　　CreateBiTree(&Tree);　　printf("%d", Tree->lchild->lchild->data); 　　return 0;} 运行结果：3
         
        

 

总结

对于二叉树和完全二叉树的性质，需要学员在理解的情况下进行记忆。有关二叉树存储结构的选择，以及结点结构的选择，要视情况而定，基本上遵循以下两个原则：

1. 1. 如果是普通二叉树，用链式存储结构；如果是完全二叉树，用顺序存储结构。
   2. 如果问题中涉及到要访问某结点的父结点，就建立三叉链表；反之，使用二叉链表即可解决问题。